Teleskop und Sensor

Einführung | Deep Sky-Aufnahmen | Mond- und Planetenaufnahmen | Anwendungsbeispiele | Fazit | Links | Anhang: Herleitung der Formeln

Auf dieser Seite möchte ich untersuchen, wie Teleskop und Kamerasensor aufeinander abgestimmt werden können und welche Unterschiede es zwischen Deep-Sky-Aufnahmen einerseits und Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen andererseits gibt. Zunächst stelle ich jedoch in der Einführung den theoretischen Hintergrund in hoffentlich verständlicher Form dar.

Hinweise

Für Eilige...

Die Güte der Anpassung eines Kamerasensors mit vorgegebener Pixelgröße an eine bestimmteTeleskopbrennweite kann mithilfe des Abbildungsmaßstabes beurteilt werden (Faustformel):

Der Abbildungsmaßstab sollte zwischen den Richtwerten 1 und 2 liegen (oft wird auch 1,5 genannt). Wenn man das Seeing berücksichtigen möchte, halbiert man den FWHM-Wert ["] für das lokale Seeing:

und nimmt diesen als anzustrebenden Richtwert oder Richtwertebereich.

 

Einführung

Fragen...

Auf dem Markt gibt es eine große Zahl von Astronomie-Kameras unterschiedlicher Hersteller. Ein Unterscheidungsmerkmal ist die Größe der Zellen des Kamerasensors, auch Pixelgröße genannt. Hobby-Astronomen, die in die Astrofotografie oder die EAA (Electronically Augmented Astronomy) einsteigen oder auch eine weitere Astronomie-Kamera kaufen wollen, stehen somit vor der Frage, welche Pixelgröße der Sensor einer solchen Kamera haben sollte, damit er optimal zur Brennweite ihres Teleskops oder ihrer Teleskope paßt ("optimale Anpassung"). Umgekehrt stellt sich bei gegebener Kamera, d.h. bei vorgegebener Pixelgröße des Sensors, die Frage, welche Brennweite ihre Teleskope haben sollten, damit sie optimal dazu passen. Das wirft eine Reihe von Fragen auf: Warum fragt man gerade nach der Pixelgröße? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "optimale Anpassung"? Und wie findet man sie? Diese Fragen möchte ich im folgenden beantworten!

Antworten

Digitalisierung...

Leider ist die Antwort auf diese Fragen nicht ganz einfach und muss etwas "theoretisch" ausfallen! Zunächst müssen wir uns klar machen, dass es sich beim Einsatz einer digitalen Kamera an einem Teleskop um einen Vorgang handelt, bei dem ein analoges Signal, das optische Teleskopbild, in ein digitales, nämlich das vom Kamerasensor erzeugte Bild, umgewandelt wird. Diese Umwandlung, auch Digitalisierung genannt, sollte idealerweise verlustfrei geschehen, so dass in der digitalen Version auch noch feine oder sogar feinste Details des Originals erhalten bleiben. Wenn man zum Beispiel Musik für eine CD digitalisiert, geht es darum, alle hörbaren Frequenzen, also alle Frequenzen zwischen 20 und 20.000 Herz, zu übertragen. Aber wie gelangt man zu einer (möglichst) verlustfreien Digitalisierung und wie sieht diese konkret bei einem Teleskop mit angeschlossener Digitalkamera aus?

Digitalisierung räumlicher Signale (Bilder)

Während bei der Digitalisierung zeitlicher Signale das analoge Signal in schneller zeitlicher Abfolge gemessen (abgetastet, "gesampled") wird, werden räumliche Signale "nebeneinander", also räumlich verteilt und oft zeitlich parallel gemessen (abgetastet, "gesampled"). Dieses "räumliche Nebeneinander" wird in der digitalen Fotografie, wo zwei räumliche Dimensionen abzubilden sind, durch rechteckige Sensoren realisiert, die aus einer Matrix winzigster lichtempfindlicher Zellen, Pixel genannt, aufgebaut sind. Auch hier geht es darum, feinste Details zu erhalten, also möglichst kleine Objekte und räumliche Strukturen vor dem Verschwinden zu bewahren. Beim Teleskop sind dies die kleinsten Sterne, die ein Teleskop abbilden kann. Die Größe dieser "kleinsten Sterne" wird durch das Auflösungsvermögen des Teleskops bestimmt, das von der Öffnung des Teleskops abhängt. Diese "kleinsten Sterne" gilt es also bei der Abbildung durch eine Digitalkamera zu erhalten!

Und nun zur Ausgangsfrage, der Frage nach der Pixelgröße!

Eine an ein Teleskop angeschlossene Kamera fängt also das vom Teleskop erzeugte optische Bild mit einem Sensor auf, der aus einem Rechteck winziger Sensorzellen, den "Pixeln", besteht. Und wie wir von der Digitalfotografie her wissen, spielt es eine Rolle, wie viele Pixel ein Kamerasensor hat - und diese Zahl bestimmt bei vorgegebener Sensorgröße auch die Größe der Pixel, die uns normalerweise wenig interessiert. Das ist bei der Astrofotografie jedoch anders; hier spielt die Größe der Pixel eine Rolle, und zwar genau bei der Frage, wie man eine möglichst verlustfreie Digitalisierung erreicht. Unsere etwas "schwammige" Ausgangsfrage, nämlich, welche Größe die Pixel haben sollten, um eine "optimale Anpassung" von Teleskop und Kamerasensor zu erreichen, können wir nun umformulieren in: Welche Größe sollten die Pixel des Kamerasensors haben, damit das optische Signal ohne Verluste digitalisiert werden kann, also auch die feinsten Sterne, die das Teleskop abbilden kann, erhalten bleiben.

Die Antwort, zunächst theoretisch und allgemein...

Diese Frage wird vom Nyquist-Theorem zunächst einmal allgemein beantwortet: Es besagt, dass die "Abtastfrequenz" (sampling rate) mindestens doppelt so hoch sein muss wie die die höchste zu übertragende Frequenz. Bei CDs wählt man deshalb 44 kHz, um 20 kHz sicher übertragen zu können. Bei räumlichen Signalen (man spricht von sogenannten "Ortsfrequenzen", für Laien schwerer vorstellbar...), muss also das "Empfangsgitter" aus Sensorzellen mindestens doppelt so fein sein wie die feinsten Details des Originalbildes, die noch erhalten bleiben sollen.

Und nun praktisch!

Für Astronomiekameras heißt dies, dass die kleinsten abbildbaren Sterne auf mindestens zwei Pixel fallen müssen, damit sie "optimal" abgebildet werden (wenn sie auf drei Pixel fallen, werden die Sterne noch etwas runder...). Die feinsten Sterne, die ein Teleskop abbilden kann, entsprechen in der Größe seinem Auflösungsvermögen; ein Pixel muss also halb so groß wie oder kleiner als das Auflösungsvermögen des verwendeten Teleskops sein. Damit haben wir im Prinzip die Antwort auf die anfangs gestellte Frage erhalten! Was noch fehlt, sind Formeln, um die optimale Pixelgröße auszurechnen, denn das Auflösungsvermögen wird in Bogensekunden angegeben und die Pixelgröße in Mikrometern. Solche und weitere Formeln habe ich im Internet gefunden und möchte sie weiter unten vorstellen.

Noch praktischer: Die Luftunruhe (Seeing)!

In der astronomischen Praxis gibt es leider noch eine Komplikation! Die Luft neigt zu Unruhe und Turbulenzen, auf Englisch spricht man von "Seeing" (ich werde im Folgenden diesen Begriff verwenden), und diese blähen die Sternabbildungen mehr oder weniger stark auf. In der Praxis wirkt sich dies bei Kurzzeitaufnahmen (Mond, Sonne, Planeten) nicht aus, weil die Turbulenzen in der Atmosphäre gewissermaßen "eingefroren" werden, aber sehr wohl bei Aufnahmen mit längeren Belichtungszeiten, wie bei Deep-Sky-Aufnahmen. Bei diesen spielt deshalb die Teleskopauflösung keine Rolle, sondern der größere Seeing-Wert (als FWHM-Wert), der im Prinzip die Größe eines "aufgeblähten Sternes" angibt. Dieser Fall kann mit den genannten Formeln behandelt werden, indem man in die Formeln statt der Auflösung den gewünschten FWHM-Wert einsetzt (siehe unten).

Warum "optimale Pixelgröße"? Arten des Sampling

Bei den Formeln zur Pixelgröße im Internet wird typischerweise von einer "optimalen Pixelgröße" geschrieben, und ich habe diesen Begriff auch verwendet. Tatsächlich folgt aus dem Nyquist-Theorem jedoch nur eine Obergrenze für die Pixelgröße, und demzufolge könnten die Pixel beliebig klein sein. Es muss also praktische Gründe dafür geben, dass die Obergrenze zugleich das Optimum und damit auch die Untergrenze darstellt, wobei man in bestimmten Fällen, so bei den Formeln zum Abbildungsmaßstab, die weiter unten aufgeführt werden, eher einen Bereich um das Optimum herum anstrebt.

Zunächst zur Obergrenze! Wenn ein Stern auf weniger als zwei Pixel fällt, dann wird das digitalisierte Bild gröber als das Original. Im "Fachjargon" spricht man in diesem Fall von "undersampling". Das Nyquist-Theorem hilft uns, dies zu vermeiden! Nun zur Untergrenze! Grundsätzlich gilt: je größer die Pixel eines Sensors sind, desto lichtempfindlicher ist er (und die Pixel selbst auch). Kleine Pixel führen also zu geringerer Empfindlichkeit, und deshalb sollten die Pixel so groß wie möglich sein, um die Belichtungszeiten kurz zu halten. Das sind sie, wie wir gesehen haben, wenn ein Stern auf genau zwei Pixel fällt. Den Bereich um dieses Optimum nennt man auch "good sampling". Kleinere Pixel sind aber nicht nur weniger empfindlicher für Licht, sondern im Falle der Astronomie, wo wir es mit schwachen Signalen zu tun haben, verteilen sich die Signale, also Sterne, auf umso mehr Pixel, je kleiner die Pixel sind. Damit wird ein ohnehin schwaches Signal noch weiter abgeschwächt. Andererseits erscheinen umso mehr Details, auf je mehr Pixel sich ein Objekt verteilt (sofern diese Details dargestellt werden können). Deshalb wird in Bereichen, wo genügend Licht zur Verfügung steht, wie bei der Mond-, Sonnen- und Planetenfotografie, tatsächlich mit dieser Methode, die man "oversampling" nennt, gearbeitet. Hierfür sind Formeln entwickelt worden, die einen optimalen Kompromiss zwischen Details und Belichtungszeit berechnen (siehe unten).

Ausblick

Im Folgenden stelle ich einige einfache Formeln für die optimale Anpassung von Teleskopen und Sensoren vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt, die die Berechnungen vereinfachen. Dabei sind die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite eine direkte Anwendung des gerade geschilderten Vorgehens. Für die anderen Formeln habe ich keine Ableitungen gefunden, aber sie basieren ebenfalls auf den hier geschilderten Grundprinzipien.

Aufgrund des zum Seeing geschriebenen unterscheide ich im folgenden zwischen den beiden Fällen Deep-Sky-Fotografie (Langzeitaufnahmen) und Mond-, Sonnen- und Planetenfotografie (Kurzzeitaufnahmen), auch wenn die "Grundformeln" auf der gleichen Grundlage beruhen.

 

Deep Sky-Aufnahmen

Im folgenden stelle ich Formeln für die Deep-Sky-Fotografie vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt:

  1. Wenn man nach einer passenden Kamera für Deep-Sky-Aufnahmen sucht, wird man die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite verwenden (Formeln 1a-d liefern "theoretische" Werte), und zwar in der Form, bei der man auch den Einfluss des Seeing berücksichtigen kann (Formeln 2a/b).
  2. Ist eine Kamera bereits vorhanden, wird man dagegen den Abbildungsmaßstab für verschiedene Teleskope im eigenen Teleskop-Park bestimmen wollen (Formel 3a/b); auch hierbei gibt es die Möglichkeit, den Seeing-Einfluss zu berücksichtigen (Formeln 4a/b).
  3. Schließlich kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich für Teleskope mit Hilfes des Abbildungsmaßstabes bestimmen (mit und ohne Seeing-Einfluss; Formeln 6a-c).

(1) Pixelgröße

Abhängig vom Auflösungsvermögen

Die optimale Pixelgröße bzw. Teleskopbrennweite berechnet sich nach den folgenden Formeln (Ableitung siehe Anhang), in die das Auflösungsvermögen bzw. die Öffnung bzw.des Teleskops eingeht:

*) Der Faktor 138,4 ergibt sich aus der Umrechnung von Bogenmaß in Sekunden und der Lichtwellenlänge (550 nm); oft wird auch nur der gerundete Wert "138" verwendet.

Diese Formeln werden normalerweise nicht für Deep-Sky-Aufnahmen verwendet und nur der Vollständigkeit halber hier aufgeführt (sie werden weiter unten in einer Tabelle verwendet).

Ahängig vom Seeing

Bei DSO-Aufnahmen wird üblicherweise der Einfluss des Seeings bei der Anpassung des Kamerasensors an ein Teleskop berücksichtigt. Dabei setzt man anstelle der Auflösung das lokale Seeing als FWHM-Wert (in Bogensekunden) in die Formel für die Pixelgröße (oder Teleskopbrennweite) ein; hier noch einmal die entsprechenden Formeln:

Beispiel

(2) Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab (in Bogensekunden pro Pixel; Herleitung der Formeln siehe Anhang - in Vorbereitung) wird als Maß für die Güte der Anpassung von Teleskop und Sensor herangezogen, wenn bereits ein Sensor vorliegt. Je nach Wert des Abbildungsmaßstabes unterscheidet man zwischen "oversampling", "undersampling" und "good sampling"*. "Good sampling" entspricht einer optimalen Anpassung, für die es Richtwerte des Abbildungsmaßstabes gibt, die sich für Deep Sky- und für Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen unterscheiden. Bei letzteren wird auch oft "oversampling" (kleinere als die "idealen" Werte) verwendet. Ein "undersampling" (größere als die "idealen" Werte) gilt es dagegen auf jedem Fall zu vermeiden.
*) Siehe das Glossar von Baader Planetarium, Artikel Der Begriff sampling, over,- under- und good sampling (www.sbig.de/universitaet/glossar-htm/sampling.htm) mit Beispielbildern für diese Samplingvarianten.

Für "Good Sampling"

*) Der Faktor 206,265 ergibt sich aus der Umrechnung von Bogenmaß in Sekunden; oft wird auch nur der gerundete Wert "206" verwendet.

Anhand dieses Wertes wird die Güte der Anpassung einer Kamerasensor/Teleskop-Kombination beurteilt. Für den Deep-Sky-Bereich gilt als Faustregel für "good sampling", einen Abbildungsmaßstab von ca. 1 bis 2 Sekunden pro Pixel anzustreben (andere Angaben, die ich gefunden habe sind: 1,25, 1,5, 1,5-2, 1-2,5 und sogar 0,7-3)*. Bei Werten für den Abbildungsmaßstab über 2 spricht man von "undersampling", bei Werten unter 1 von "oversampling".
*) Begründungen für diese Richtwerte werden üblicherweise nicht gegeben, aber offensichtlich beruhen sie auf typischen Werten für das Seeing (in Mitteleuropa). Dazu weiter unten mehr!

Beispiel

Abhängig vom Seeing

Laut H.J. Strauch halbiert man in der Praxis einfach den Seeing-Wert (FWHM) und wählt diesen als anzustrebenden Abbildungsmaßstab. Im Prinzip ist dies die Anwendung des Nyquist-Theorems, welches besagt, dass die Abtastrate (sampling rate) die doppelte Frequenz des abzutastenden analogen Signals haben sollte. Man prüft also den den nach Formel 3a/b berechneten Abbildungsmaßstab nicht daraufhin, ob er zwischen den "idealen" Werten 1 und 2 liegt, sondern ob er in der Nähe des aus dem FWHM-Wertes bestimmten Abbildungsmaßstabes liegt. Dazu weiter unten mehr!

Um die Pixelgröße des Sensors bei vorgegebener Teleskopbrennweite zu bestimmen, muss die Formel für den Abbildungsmaßstab umgeformt werden; entsprechendes gilt für die Teleskopbrennweite bei vorgegebener Pixelgröße:

Beispiel

Astronomy.tool "Tweak"

Astronomy.tools schreibt zur Abtastrate (sampling rate): "There is some debate around using this for modern CCD sensors because they use square pixels, and we want to image round stars. Using typical seeing at 4" FWHM, Nyquist's formula would suggest each pixel has 2" resolution which would mean a star could fall on just one pixel, or it might illuminate a 2 x 2 array, so be captured as a square." (Es gibt einige Diskussionen darüber, ob dies auf moderne CCD-Sensoren anwendbar ist, weil sie quadratische Pixel verwenden, und wir wollen runde Sterne abbilden. Unter Verwendung des typischen Seeings bei 4" FWHM würde die Formel von Nyquist vorschlagen, dass jedes Pixel eine Auflösung von 2" hat, was bedeuten würde, dass ein Stern auf nur genau ein Pixel fallen könnte, oder er könnte ein 2 x 2-Array beleuchten, also als Quadrat erfasst werden.) Um "runde" Sterne zu erhalten, schlagen die Autoren der Website vor, mit der 3-fachen Frequenz des analogen Signals abzutasten - allerdings tun sie dies nur teilweise.

Zunächst einmal ordnen die Autoren den unterschiedlichen Seeing-Bedingungen FWHM-Wertebereiche zu und gelangen per Division dieser Werte durch 3 oder 2 zu "empfohlenen" Wertebereichen für den Abbildungsmaßstab (den sie "pixel size" nennen...). Dabei teilen sie den FWHM-Wert an der Untergrenze nicht durch 2, sondern durch 3. Dies führt zu der folgenden Tabelle, in die ich auch das "Standardverfahren Halbierung" aufgenommen habe:

  Seeing
Abbildungsmaßstab
 
Seeing-Bedingungen FWHM-Wert Astronomy.tools H.J. Strauch* Anmerkungen
  Von Bis Von Bis Von Bis  
Exceptional good seeing 0,5" 1" 0,17 0,5 0,25 0,5  
Good seeing 1" 2" 0,33 1 0,5 1  
OK seeing 2" 4" 0,67 2 1 2 Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5 (H.J. Strauch)
Poor seeing 4" 5" 1,33 2,5 2 2,5  
Very poor seeing 5" 6" 1,67 3 2,5 3  

*) Nach der "Halbierungsregel" (von H.J. Strauch angegeben), wenn man die Seeing-Bereiche von Astronomy.tools zugrunde legt.

Mit einem interaktiven Rechner kann man auf der Astronomy.tools-Website den Abbildungmaßstab für seine Konfiguration berechnen (er rechnet nach der oben angegebenen Faustformel) und in Beziehung zu den Werten des lokalen Seeings setzen. Man prüft also nicht, ob dieser Wert zwischen 1 und 2 (oder was auch immer angegeben wird...) liegt, sondern ob er innerhalb der Grenzen liegt, welche die jeweiligen Seeing-Bedingungen vorgeben.

Beispiel

Woher kommen die Empfehlungen für den Wert des Abbildungsmaßstabes?

Wie schon erwähnt, werden bei den Internet-Quellen üblicherweise keine Begründungen für die angegebenen "idealen" Werte des Abbildungsmaßstabes gegeben. Mein Verdacht, dass sie auf typischen Werten für das Seeing in Mitteleuropa beruhen, scheint sich anhand der oben gezeigten Tabelle zu bestätigen.

Der oft genannte Wertebereich von 1-2 für den Abbildungsmaßstab entspricht demnach dem "OK Seeing", der ebenfalls oft genannte Wert von 1,5 dem "mittleren Seeing" von 3", das H.J. Strauch für Mitteleuropa angibt. Andere Werte oder Wertebereiche scheinen lediglich "Variationen" davon zu sein. Insofern ist es wohl am besten, den Abbildungsmaßstab für seine eigene oder angestrebte Konfiguration und das erwartete Seeing zu berechnen und mit der obigen Tabelle zu vergleichen. Ob man sich dann der Interpretation von Astronomy.tools oder der von H.J. Strauch und anderen anschließt, bleibt jedem selbst überlassen...

(3) Empfohlener Brennweitenbereich

Mit Hilfe der Faustregel, dass der Abbildungsmaßstab zwischen 1 und 2 liegen sollte, kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich bestimmen und so überprüfen, ob die eigenen Teleskope in einem geeigneten Brenweitenbereich liegen. Der Einfachheit halber verwende ich hier die Faustformel für den Abbildungsmaßstab, die ich entsprechend umforme:

Um den Brennweitenbereich zu bestimmen, setze ich nun nacheinander die Werte "2" und "1" in die Formel ein:

Wenn man das Seeing mitberücksichtigen möchte (siehe Astronomy.tools), setzt man stattdessen die entsprechenden Werte für den Abbildungsmaßstab (obere und untere Grenze, z.B. 0,67 und 2 für "OK Seeing") in die Formel ein.

Beispiel

 

Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen

Im folgenden stelle ich Formeln für die Mond-, Sonnen- und Planeten-Fotografie vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt:

  1. Wenn man nach einer passenden Kamera für Deep-Sky-Aufnahmen sucht, wird man die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite verwenden (Formeln 1a/b). Ist eine Kamera bereits vorhanden, wird man dagegen den Abbildungsmaßstab für verschiedene Teleskope im eigenen Teleskop-Park bestimmen wollen (Formel 3a/b)
  2. Weiterhin stelle ich Formeln für den Fall vor, dass mit Oversampling gearbeitet werden soll, also viele Details gezeigt werden sollen (Formeln 6a/b, 7).

(1) Good Sampling

Pixelgröße, Teleskopbrennweite

Wie oben schon geschrieben, werden beim Fotografieren dieser Objekte mit Belichtungszeiten von Bruchteilen einer Sekunde die Turbulenzen in der Atmosphäre praktisch "eingefroren". Dies erlaubt es, mit der theoretischen Auflösung des Teleskops zu rechnen:

Beispiel

Abbildungsmaßstab

Aus den folgenden Formeln kann der Abbildungsmaßstab bestimmt werden, sofern Teleskopbrennweite und Sensor (Pixelgröße) vorgegeben sind:

Beispiel

Abweichende Richtwerte für den Abbildungsmaßstab bei diesen Objekten (Mond, Sonne, Planeten) habe ich nicht finden können, obwohl bestimmte Quellen schreiben, dass es diese gäbe...

(2) Oversampling, optimales Öffnungsverhältnis, optimale Brennweite

Bei Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen mit Webcams oder CCD/CMOS-Kameras kann es sinnvoll sein, die Aufnahmen zu "oversamplen", um so mehr Details abzubilden. Dabei wird das Licht auf mehr Pixel verteilt, als es nach dem Nyquist-Kriterium zum Erreichen der Bildauflösung erforderlich ist, weil der Empfindlichkeitsverlust keine große Rolle spielt (sofern das Seeing eine Darstellung der Details erlaubt). Eine beliebige Steigerung der Brennweite ist jedoch nicht sinnvoll, sondern man strebt einen Kompromiss zwischen Brennweite und Bildhelligkeit (und damit der Belichtungszeit) an. Dazu berechnet man das optimale Öffnungsverhältnis "fo" nach einer von Stefan Seip angegebenen Formel (siehe Anhang) bzw. nach diesen Faustformeln:

Anschließend läßt sich die optimale Brennweite am einfachsten folgendermaßen bestimmen:

Typischerweise muss die Teleskopbrennweite durch geeignete Barlow-Linsen oder Fokalextender verlängert werden.

Beispiele

(1) Kamera Atik Infinity Colour, Pixelbreite 6,45 μm. Hierfür ergibt die Formel mit Faktor 5 eine optimale Blende von 32,25 (also 32) und damit ein optimales Öffnungsverhältnis von etwa f/32 (1:32).

Anwendung auf meine Teleskope:

(2) Kamera ASI 224 MV Color, Pixelbreite 3,75 μm. Hierfür ergibt die Formel mit Faktor 5 eine optimale Blende von 18,75 (also grob 16) und damit ein optimales Öffnungsverhältnis von etwa f/16 (1:16).

Anwendung auf meine Teleskope:

Quelle, verändert: https://www.astrovis.at/images/VDS-Journal-48-Astrovis-Kennzahlen.pdf

 

Anwendungsbeispiele

Im folgenden zeige ich Tabellen mit Rechenergebnissen auf der Grundlage der oben angegebenen Formeln, und zwar für meine und für einige andere Teleskope und für Kamerasensoren, die für mich relevant sind. Am Ende dieses Abschnitts versuche ich anhand einer reduzierten Tabelle die Eignung von drei Sensorgrößen für meine Teleskope zu überprüfen.

Berechnungen für meine und weitere Teleskope und einige Sensorgrößen

Die folgenden beiden Tabellen habe ich mit Hilfe eines Excel-Spreadsheets auf der Grundlage der angegebenen Formeln berechnet.

Optimale Pixelgröße

Die optimale Pixelgröße wird im Folgende über die Auflösung nach Rayleigh (kein Seeing-Einfluss) und über das Seeing nach der Halbierungsregel berechnet:

Teleskop
Auflösung ["]
Optimale Pixelgröße [µm]
Beispiele
Brennweite [mm] (mm) 
Öffnung [mm]
f
Nach
Rayleigh
Über
Auflösung
Über Seeing (FWHM)
2"
3"
4"
5"
Stellina 400 80 5 1,73 1,68 1,94 2,91 3,88 4,85
APO 80/480 480 80 6 1,73 2,01 2,33 3,49 4,65 5,82
Heritage 100P  400 100 4 1,38 1,34 1,94 2,91 3,88 4,85
TLAPO1027 714 102 7 1,36 2,35 3,46 5,19 6,92 8,65
PS 72/432 432 72 6 1,92 2,01 2,09 3,14 4,19 5,24
eVscope, Newton 114/450 450 114 4 1,21 1,32 2,18 3,27 4,36 5,45
Newton 114/500 500 114 4,4 1,21 1,47 2,42 3,64 4,85 6,06
Heritage P130 650 130 5 1,06 1,68 3,15 4,73 6,30 7,88
6" Newton, Explorer 150PDS  750 150 5 0,92 1,68 3,64 5,45 7,27 9,09
6" Newton  900 150 6 0,92 2,01 4,36 6,54 8,73 10,91
6" Newton 1200 150 6 0,92 2,68 5,82 8,73 11,64 14,54
8" Newton, GSD 680  1200 200 6 0,69 2,01 5,82 8,73 11,64 14,54
Skymax-102 1300 102 12,7 1,36 4,28 6,30 9,45 12,61 15,76
Skymax-127 1500 127 11,8 1,09 3,96 7,27 10,91 14,54 18,18
Skymax-127R 750 127 5,9 1,09 1,98 3,64 5,45 7,27 9,09
Celestron C8 2032 203 10 0,68 3,36 9,85 14,78 19,70 24,63
Celestron C8R 1280 203 6,3 0,68 2,12 6,21 9,31 12,41 15,51
Celestron C8R2 1016 203 5 0,68 1,68 4,93 7,39 9,85 12,31
Celestron C14 3500 350 10 0,40 3,35 16,97 25,45 33,94 42,42

Abbildungsmaßstab, Optimale Brennweite

Für den Abbildungsmaßstab wurde die Faustformel verwendet, weil die exakte Formel dieselben Zahlenwerte liefert. Dabei wurde der genauere Wert von "206,265" anstelle von "206" verwendet. Die optimale Brennweite wird bei Mond-, Sonnen- und Planetenbeobachtungen verwendet; die optimale Blende beträgt Pixelgröße [µm] * 5.

Teleskop
Abbildungs-
maßstab
Optimale Brennweite [mm] (Farbe)
Beispiele
Brennweite [mm] (mm) 
Öffnung [mm]
f
Pixelgröße [µm]
2,4
3,75
6,45
2,4
3,75
6,45
Stellina 400 80 5 1,24 1,93 3,33 960,00 1500,00 2580,00
APO 80/480 480 80 6 1,03 1,61 2,77 960,00 1500,00 2580,00
Heritage 100P  400 100 4 1,24 1,93 3,33 1200,00 1875,00 3225,00
TLAPO1027 714 102 7 0,69 1,08 1,86 1224,00 1912,50 3289,50
PS 72/432 432 72 6 1,15 1,79 3,08 864,00 1350,00 2322,00
eVscope, Newton 114/450 450 114 4 1,10 1,72 2,96 1368,00 2137,50 3676,50
Newton 114/500 500 114 4,4 0,99 1,55 2,66 1368,00 2137,50 3676,50
Heritage P130 650 130 5 0,76 1,19 2,05 1560,00 2437,50 4192,50
6" Newton, Explorer 150PDS  750 150 5 0,66 1,03 1,77 1800,00 2812,50 4837,50
6" Newton  900 150 6 0,55 0,86 1,48 1800,00 2812,50 4837,50
6" Newton 1200 150 6 0,41 0,64 1,11 1800,00 2812,50 4837,50
8" Newton, GSD 680  1200 200 6 0,41 0,64 1,11 2400,00 3750,00 6450,00
Skymax-102 1300 102 12,7 0,38 0,59 1,02 1224,00 1912,50 3289,50
Skymax-127 1500 127 11,8 0,33 0,52 0,89 1524,00 2381,25 4095,75
Skymax-127R 750 127 5,9 0,66 1,03 1,77 1524,00 2381,25 4095,75
Celestron C8 2032 203 10 0,24 0,38 0,65 2436,00 3806,25 6546,75
Celestron C8R 1280 203 6,3 0,39 0,60 1,04 2436,00 3806,25 6546,75
Celestron C8R2 1016 203 5 0,49 0,76 1,31 2436,00 3806,25 6546,75
Celestron C14 3500 350 10 0,14 0,22 0,38 4200,00 6562,50 11287,50

Deep Sky: Richtwerte für den Abbildungsmaßstab für verschiedene Seeing-Bedingungen

Ein der obigen Tabelle entnommener Abbildungsmaßstab kann nun entweder mit dem "good sampling"-Wertebereich von 1-2 (oder dem Wert 1,5) verglichen werden oder mit den folgenden Abbildungsmaßstäben, die für unterschiedliche Seeing-Bedingungen angegeben werden:

  Seeing
Abbildungsmaßstab
 
Seeing-Bedingungen FWHM-Wert

Astronomy.tools

H.J. Strauch* Anmerkungen
  Von Bis Von Bis Von Bis  
Exceptional good seeing 0,5" 1" 0,17 0,5 0,25 0,5  
Good seeing 1" 2" 0,33 1 0,5 1  
OK seeing 2" 4" 0,67 2 1 2 Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5 (H.J. Strauch)
Poor seeing 4" 5" 1,33 2,5 2 2,5  
Very poor seeing 5" 6" 1,67 3 2,5 3  

*) Nach der "Halbierungsregel" (von H.J. Strauch angegeben), wenn man die Seeing-Bereiche von Astronomy.tools zugrunde legt.

Brennweitenbereiche für verschiedene Sensorgrößen

Die Brennweiten wurden für die Abbildungsmaßstäbe 2 und 1 berechnet.

Kamera/Teleskop Pixelgröße Brennweite (2) Brennweite (1) Bereich Opt. Pixelgröße für eigenen Tubus Passt für...
µm mm mm mm µm
Stellina 2,4 247,5 495,0 250-500 1,68 PS72/432, APO 80/480
eVscope, ASI120, ASI224 3,75 386,7 773,5 400-800 1,32 TLAPO1027, SM127R, PS72/432, APO 80/480
Atik Infinity 6,45 665,2 1330,4 650-1300 abhängig von der Tubusbrennweite TLAPO1027, C8R, C8R2, SM127R

Stattdessen können die Brennweiten auch für die Grenzwerte der jeweiligen Seeing-Bedingungen berechnet werden.

Anwendung auf meine Teleskope

In Folgenden habe ich die obige Tabelle auf meine Teleskope reduziert und versuche nun die "Regeln" anzuwenden. Bei der optimalen Pixelgröße hebe ich die 3"-Spalte hervor (und leicht die 2"- und 4"-Spalten); beim Abbildungsmaßstab hinterlege ich geeignete Zellen farblich und hebe den Sensor meiner Atik Infinity-Kamera hervor. Heraus kommt dieses:

Teleskop   
Auflösung ["]
Optimale Pixelgröße [µm]
Abbildungs-
maßstab
["/Pixel]
Optimale
Brennweite
[mm] (Farbe)
Meine Teleskope
Brennw. [mm] (mm) 
Öffnung [mm]
f
Nach
Rayleigh
Über
Auflösung
Über Seeing (FWHM)
Für Pixelgröße [µm]
2"
3"
4"
5"
 
2,4
3,75
6,45
2,4
3,75
6,45
TLAPO1027 714 102 7 1,36 2,35 3,46 5,19 6,92 8,65   0,69 1,08 1,86 1224,00 1912,50 3289,50
PS 72/432 432 72 6 1,92 2,01 2,09 3,14 4,19 5,24   1,15 1,79 3,08 864,00 1350,00 2322,00
eVscope 450 114 4 1,21 1,32 2,18 3,27 4,36 5,45   1,10 1,72 2,96 1368,00 2137,50 3676,50
Skymax-127 1500 127 11,8 1,09 3,96 7,27 10,91 14,54 18,18   0,33 0,52 0,89 1524,00 2381,25 4095,75
Skymax-127R 750 127 5,9 1,09 1,98 3,64 5,45 7,27 9,09   0,66 1,03 1,77 1524,00 2381,25 4095,75
Celestron C8 2032 203 10 0,68 3,36 9,85 14,78 19,70 24,63   0,24 0,38 0,65 2436,00 3806,25 6546,75
Celestron C8R 1280 203 6,3 0,68 2,12 6,21 9,31 12,41 15,51   0,39 0,60 1,04 2436,00 3806,25 6546,75
Celestron C8R2 1016 203 5 0,68 1,68 4,93 7,39 9,85 12,31   0,49 0,76 1,31 2436,00 3806,25 6546,75

Die Zellen beim Abbildungsmaßstab habe ich cyan hinterlegt, wenn sie im Bereich zwischen 1 und 2 liegen (Halbierungsregel); Zellen mit Werten zwischen 0,66 und 1 habe ich blau hinterlegt ("Tweak" nach Astronomy.tools). Textfarben sollen relevante Daten hervorheben.

Daraus folgere ich:

Die Kombination beider Reduzierer sollte am C8 auch passen...

In kurz: am TLAPO1027 passen die ASI224 (besser bei gutem Seeing) und die Atik Infinity, am PS 72/432 die ASI 224, am Skymax-127 und C8 die Atik Infinity, aber eigentlich nur mit Brennweitenreduzierern (am 127R ginge auch die ASI224).

Die Daten für die optimale Brennweite möchte ich hier nicht kommentieren, außer dass 3- und 5-fach Fokalextender angebracht erscheinen (die ich besitze...).

 

Zusammenfassung

Es hat einige Zeit gedauert, bis ich in den vielen Formeln im Internet ein gewisses "System" erkannt habe. Ich hoffe, dass ich alles einigermaßen richtig und verständlich dargestellt habe, so dass andere Hobby-Astronomen die Formeln auch auf ihre eigene Ausrüstung anwenden können.

 

Links

 

Anhang: Herleitung der Formeln

Optimale Pixelgröße, Optimale Teleskopbrennweite

Die Herleitung orientiert sich an:

Oft wird die Frage gestellt, welche Pixelgröße der Sensor einer Aufnahmekamera bei gegebener Teleskopbrennweite haben sollte. Umgekehrt stellt sich bei gegebener Kamera, d.h. Pixelgröße, die Frage, welche Brennweite passende Teleskope haben sollten. Hierzu folgende Betrachtung: Zwei Objekte lassen sich auf dem Sensor nur dann trennen, wenn zwischen ihnen ein weiterer Pixel liegt. Der Abstand dieser Objekte auf dem Chip beträgt also das Doppelte der Pixelgröße:

Entsprechend dem Diagramm gilt:

Für den Winkel kann unter bestimmten Bedingungen das Auflösungsvermögen des Teleskops nach Rayleigh eingesetzt werden, welches lautet:

Für die Umrechnung des Bogenmaßes in Winkelmaß, genauer, in Sekunden gilt:

Setzt man für λ 550 nm als Mittelwert für das vom menschlichen Auge wahrnehmbare Lichtspektrum ein und rechnet in Winkelmaß um, so ergibt sich für das Auflösungsvermögen:

Damit folgt für den Winkel:

Für die Pixelgröße in µm folgt, wenn alle anderen Maße in mm sind (Faktor 3600 wegen Sekunden):

Bei gegebener Pixelgröße in µm folgt für die Teleskopbrennweite im mm (Faktor 3600 wegen Sekunden):

Das sind die Basisformeln, die jedoch selten eingesetzt werden, weil statt des Auflösungsvermögens des Teleskops eher Werte für das lokale Seeing verwendet werden.

Abbildungsmaßstab

In Vorbereitung

 

Optimales Öffnungsverhältnis, optimale Brennweite

Das optimale Öffnungsverhältnis berechnet man wie folgt nach einer von Stefan Seip angegebenen Formel:

Dabei bedeuten: fo = Blende für eine beugungsbegrenzte Abbildung, Pixelgröße = Kantenlänge eines Pixels (μm), λ = Wellenlänge des Lichts (550 nm für "weißes" Licht). Der Faktor √2 berücksichtigt den Einfluss des Bayer-Filters bei Farbsensoren.

Anschließend läßt sich die optimale Brennweite auf zwei Arten bestimmen:

Typischerweise muss bei dieser Vorgehensweise die Teleskopbrennweite durch geeignete Barlow-Linsen oder Fokalextender verlängert werden.

 

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28.08.2020